381 Вправа 381Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 69

381. Доведіть, що периметр даного трикутника вдвічі більший за периметр трикутника, сторони якого є середніми лініями даного трикутника.

Дано: △ABC; MN, NP, MP – середні лінії.

Довести: P△ABC = 2P△MNP.

Доведення

P△ABC = AB + BC + AC.

За властивістю середньої лінії трикутника:

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC;

MP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC;

NP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

P△MNP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC =

= ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(AB + BC + AC) = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$P△ABC.

Отже, P△ABC = 2P△MNP.

Що і потрібно було довести.