396 Вправа 396Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 71

396. Доведіть, що три висоти трикутника перетинаються в одній точці.

Дано: △ABC; AK ⊥ BC, BM ⊥ AC, CF ⊥ AB – висоти.

Довести: прямі AK, BM і CF перетинаються в одній точці.

Доведення

Проведемо через вершини A, B і C прямі, паралельні протилежним сторонам. Вони утворюють △A1B1C1.

Як доведено в задачі 382, точки A, B і C – середини сторін C1B1, C1A1 і A1B1.

AK ⊥ BC, а BC ∥ C1B1, тому AK ⊥ C1B1. Отже, пряма AK – серединний перпендикуляр до сторони C1B1.

Аналогічно прямі BM і CF – серединні перпендикуляри до сторін C1A1 і A1B1.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника A1B1C1 перетинаються в одній точці O (центр описаного кола).

Отже, прямі, що містять висоти △ABC, перетинаються в одній точці.

Що і потрібно було довести.