390 Вправа 390Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 70

390. Доведіть, що середини сторін квадрата є вершинами квадрата.

Дано: ABCD – квадрат; M, N, K, P – середини сторін DC, BC, AB, AD.

Довести: PMNK – квадрат.

Доведення

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD (MN – середня лінія △BCD);

PK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BD (PK – середня лінія △ABD);

PM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC (PM – середня лінія △ACD);

KN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC (KN – середня лінія △ABC).

AC = BD (діагоналі квадрата рівні), тому

PM = MN = NK = PK, тобто PMNK – ромб.

△PDM і △NCM – прямокутні рівнобедрені (PD = DM, NC = CM), тому

∠PMD = ∠NMC = 45°.

∠PMN = 180° – 45° – 45° = 90°.

Ромб із прямим кутом – квадрат. Отже, PMNK – квадрат.

Що і потрібно було довести.