385 Вправа 385Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 70
Умова
Точки M і N – середини сторін AD і BC паралелограма ABCD. Доведіть, що прямі AN і CM ділять діагональ BD на три рівні частини.
Розв'язок
385. Точки M і N – середини сторін AD і BC паралелограма ABCD. Доведіть, що прямі AN і CM ділять діагональ BD на три рівні частини.
Дано: ABCD – паралелограм; AM = MD; BN = NC; AN і CM перетинають BD у точках P і K.
Довести: DK = KP = PB.
Доведення
AM ∥ NC і AM = NC (половини рівних протилежних сторін), тому AMCN – паралелограм, отже, AN ∥ CM.
Кут ADB: паралельні прямі MK і AP відтинають на стороні DA рівні відрізки (AM = MD), тому, за теоремою Фалеса, DK = KP.
Кут CBD: паралельні прямі NP і CK відтинають на стороні BC рівні відрізки (BN = NC), тому BP = PK.
Отже, DK = KP = PB.
Що і потрібно було довести.