395 Вправа 395Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 71

395. Доведіть, що точка перетину медіан трикутника ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.

Дано: △ABC; AM, CN, BK – медіани.

Довести: точка O перетину медіан ділить кожну медіану у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини.

Доведення

Нехай медіани AM і CN перетинаються в точці O.

Проведемо MF ∥ CN (F лежить на AB).

Кут B: паралельні прямі MF і CN відтинають на стороні BC рівні відрізки (BM = MC), тому, за теоремою Фалеса, BF = FN.

Тоді NF = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$NB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AN (AN = NB).

Нехай E – середина AN. Тоді AE = EN = NF.

Проведемо EE1 ∥ CN (E1 лежить на AM).

Кут A: паралельні прямі EE1, NO, FM відтинають на стороні AB рівні відрізки AE = EN = NF, тому, за теоремою Фалеса, AE1 = E1O = OM.

Отже, AO = 2OM, тобто AO : OM = 2 : 1.

Аналогічно точка перетину медіан AM і CN ділить CN у відношенні CO : ON = 2 : 1.

Так само медіана BK перетинає CN у точці, яка ділить CN у відношенні 2 : 1 від вершини C, тобто в тій самій точці O.

Отже, усі три медіани перетинаються в точці O, і BO : OK = 2 : 1.

Що і потрібно було довести.