398 Вправа 398Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 71

398. Через точку M, розміщену всередині кута ABC, проведіть пряму так, щоб її відрізок, який відтинають сторони кута, точкою M ділився у відношенні 1 : 2.

Побудова

1) Проведемо через точку M пряму, паралельну BA; вона перетне сторону BC у точці N.

2) Поділимо відрізок BN навпіл точкою E і відкладемо на стороні BC за точкою N відрізок NP = NE.

3) Проведемо пряму PM; вона перетне сторону BA в точці Q. PQ – шукана пряма.

Доведення

PN = NE = EB. Проведемо EE1 ∥ BA (E1 лежить на PQ).

Паралельні прямі NM, EE1, BQ відтинають на стороні PB кута P рівні відрізки, тому, за теоремою Фалеса, PM = ME1 = E1Q.

Отже, MQ = 2PM, тобто PM : MQ = 1 : 2.

Що і потрібно було довести.