397 Вправа 397Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 71

397. Кожну зі сторін трикутника ABC поділено на три рівні частини й точки поділу сполучено відрізками (мал. 148). 1. Знайдіть суму довжин усіх відрізків, які сполучають точки поділу, якщо периметр трикутника ABC дорівнює 36 см. 2. Розв'яжіть задачу за умови, що кожну сторону трикутника поділено на чотири рівні частини.

1) P△ABC = 36 см; AK = KP = PB; BN = NQ = QC; AM = MD = DC.

За теоремою Фалеса, прямі, паралельні AC, що проходять через точки P і K, проходять через точки N і Q, тобто PN ∥ AC, KQ ∥ AC.

Аналогічно KM ∥ PD ∥ BC, QD ∥ NM ∥ AB.

AKQD – паралелограм (AK ∥ DQ, KQ ∥ AD), тому

KQ = AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$AC.

PN – середня лінія △KBQ, тому

PN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$KQ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$AC.

PN + KQ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$AC + ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$AC = AC.

Аналогічно KM + PD = BC; QD + NM = AB.

Сума відрізків дорівнює P△ABC = 36 см.

2) Якщо кожну сторону поділено на чотири рівні частини, то паралельно кожній стороні проходять три відрізки, довжини яких дорівнюють ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$, ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{4}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$ цієї сторони:

${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{4}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{4}}}$ = 1,5.

Сума відрізків: 1,5 · P△ABC = 1,5 · 36 = 54 (см).

Відповідь: 1) 36 см; 2) 54 см.