384 Вправа 384Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 6 · стор. 70

384. Доведіть, що середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники.

Дано: △ABC; BC = a; AC = b; AB = c; A1, B1, C1 – середини сторін AC, BC, AB.

Довести: △AA1C1 = △A1CB1 = △C1B1B = △B1C1A1.

Доведення

A1C = A1A = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$;

B1C = B1B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$;

AC1 = C1B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$.

За властивістю середньої лінії трикутника:

A1B1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$c;

B1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$b;

A1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$a.

Отже, у кожного з чотирьох трикутників сторони дорівнюють ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$, ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$:

У △AA1C1: AA1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$, AC1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, A1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$;

У △A1CB1: A1C = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$, A1B1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, CB1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$;

У △C1B1B: B1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$, C1B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, B1B = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$;

У △B1C1A1: B1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{2}}}$, A1B1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, A1C1 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{2}}}$.

Тому ці трикутники рівні (за трьома сторонами).

Що і потрібно було довести.