881° Вправа 881Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 22 · стор. 267

881. Знаменник дробу на 3 більший за чисельник. Якщо чисельник збільшити на 1, а знаменник — на 4, то одержимо дріб, який на 1/8 більший за даний. Знайдіть даний дріб.

Нехай ${\displaystyle x}$ — чисельник, тоді ${\displaystyle x+3}$ — знаменник; даний дріб: ${\displaystyle \frac{x}{x+3}}$.

Новий чисельник: ${\displaystyle x+1}$, новий знаменник: ${\displaystyle (x+3)+4=}$${\displaystyle x+7}$; новий дріб: ${\displaystyle \frac{x+1}{x+7}}$.

${\displaystyle \frac{{x+1}^{\mathrm{\setminus }8\left(x+3\right)}}{x+7}-\frac{x^{\mathrm{\setminus }8\left(x+7\right)}}{x+3}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }\left(x+7\right)\left(x+3\right)}}{8}}$;

${\displaystyle \frac{8(x+1)(x+3)-8x(x+7)-(x+7)(x+3)}{8(x+7)(x+3)}=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 8(x^2+4x+3)-8(x^2+7x)-(x^2+10x+21)=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle 8x^2+32x+24-8x^2-56x-x^2-10x-21=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle -x^2-34x+3=}$${\displaystyle 0}$ | ${\displaystyle \cdot \left(-1\right)}$

${\displaystyle x^2+34x-3=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle {34}^2-4\cdot 1\cdot (-3)=}$${\displaystyle 1156+12=}$${\displaystyle 1168}$;

${\displaystyle x_{1,2}=}$${\displaystyle \frac{-34\pm \sqrt{1168}}{2}=}$${\displaystyle \frac{-34\pm 4\sqrt{73}}{2}=}$${\displaystyle -17\pm 2\sqrt{73}}$;

Корені ірраціональні, а чисельник дробу має бути натуральним числом. Отже, дробу, який задовольняє умову, немає.

В умові, ймовірно, друкарська помилка: відповідь підручника ${\displaystyle \frac{1}{4}}$ виходить, якщо чисельник збільшити на 2:

${\displaystyle \frac{{x+2}^{\mathrm{\setminus }8\left(x+3\right)}}{x+7}-\frac{x^{\mathrm{\setminus }8\left(x+7\right)}}{x+3}=}$${\displaystyle \frac{1^{\mathrm{\setminus }\left(x+7\right)\left(x+3\right)}}{8}}$;

${\displaystyle 8((x+2)(x+3)-x(x+7))=}$${\displaystyle (x+7)(x+3)}$;

${\displaystyle 8(6-2x)=}$${\displaystyle x^2+10x+21}$;

${\displaystyle x^2+26x-27=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle 1}$; ${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle -27}$ — не підходить (чисельник — натуральне число);

Дріб: ${\displaystyle \frac{1}{1+3}=}$${\displaystyle \frac{1}{4}}$.