925* Вправа 925Алгебра 8 клас Тарасенкова 2025 · § 22 · стор. 273

925. Петрик і Катруся збирали малину. Коли Катруся наповнила 2/3 свого дволітрового бідона, трилітровий бідон Петрика був майже повний. Діти помінялися бідонами й через деякий час одночасно закінчили збирання ягід. У скільки разів швидше працював Петрик, ніж Катруся? Скільки літрів ягід набрали діти до того, як помінялися бідонами?

Нехай ${\displaystyle v_1}$ — швидкість збирання Петрика, ${\displaystyle v_2}$ — Катрусі.

До обміну Катруся зібрала ${\displaystyle 2\cdot \frac{2}{3}=}$${\displaystyle \frac{4}{3}}$ л, Петрик — ${\displaystyle x}$ л.

Час до обміну: ${\displaystyle t_1=}$${\displaystyle \frac{4}{3v_2}=}$${\displaystyle \frac{x}{v_1}}$.

Після обміну Петрику залишилося дозбирати ${\displaystyle 2-\frac{4}{3}=}$${\displaystyle \frac{2}{3}}$ л, Катрусі: ${\displaystyle 3-x}$ л.

Час після обміну: ${\displaystyle t_2=}$${\displaystyle \frac{2}{3v_1}=}$${\displaystyle \frac{3-x}{v_2}}$.

${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=}$${\displaystyle \frac{3x}{4}}$ та ${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=}$${\displaystyle \frac{2}{3(3-x)}}$;

${\displaystyle \frac{3x}{4}=}$${\displaystyle \frac{2}{9-3x}}$;

${\displaystyle 3x(9-3x)=}$${\displaystyle 8}$;

${\displaystyle 27x-9x^2=}$${\displaystyle 8}$;

${\displaystyle 9x^2-27x+8=}$${\displaystyle 0}$;

${\displaystyle D=}$${\displaystyle {(-27)}^2-4\cdot 9\cdot 8=}$${\displaystyle 729-288=}$${\displaystyle 441}$;

${\displaystyle x_1=}$${\displaystyle \frac{27-21}{18}=}$${\displaystyle \frac{6}{18}=}$${\displaystyle \frac{1}{3}}$ — не задовольняє умову (бідон був майже повний);

${\displaystyle x_2=}$${\displaystyle \frac{27+21}{18}=}$${\displaystyle \frac{48}{18}=}$${\displaystyle \frac{8}{3}=}$${\displaystyle 2\frac{2}{3}}$ (л) — зібрав Петрик до обміну;

${\displaystyle \frac{v_1}{v_2}=}$${\displaystyle \frac{3\cdot \frac{8}{3}}{4}=}$${\displaystyle \frac{8}{4}=}$${\displaystyle 2}$ (рази) — швидкість Петрика більша;

${\displaystyle \frac{4}{3}+\frac{8}{3}=}$${\displaystyle \frac{12}{3}=}$${\displaystyle 4}$ (л) — зібрали разом до обміну.

Відповідь: у ${\displaystyle 2}$ рази; ${\displaystyle 4}$ л.