581 Вправа 581Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 10 · стор. 106

581. Основи трапеції дорівнюють 16 см і 20 см, а діагоналі 12 см і 18 см. Знайди відрізки, на які діагоналі трапеції діляться в точці перетину.

Нехай ABCD — трапеція, BC ∥ AD. BC = 16 см; AD = 20 см; AC = 12 см; BD = 18 см.

△BOC ~ △DOA (за двома кутами):

∠BOC = ∠DOA — вертикальні кути;

∠ACB = ∠CAD (внутрішні різносторонні кути, BC ∥ AD, AC — січна).

k = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{20}{16}}$ = ${\displaystyle \frac{5}{4}}$. Отже, BO = 4x; OD = 5x;

4x + 5x = 18; 9x = 18, x = 2.

BO = 8 см; OD = 10 см;

OC = 4y; OA = 5y:

4y + 5y = 12; 9y = 12; y = ${\displaystyle \frac{4}{3}}$;

OC = 4 · ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{16}{3}}$ = 5${\displaystyle \frac{1}{3}}$ (см);

OA = 5 · ${\displaystyle \frac{4}{3}}$ = ${\displaystyle \frac{20}{3}}$ = 6${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (см).

Відповідь: 8 см і 10 см; 5${\displaystyle \frac{1}{3}}$ см і 6${\displaystyle \frac{2}{3}}$ см.