582 Вправа 582Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 10 · стор. 106

582. У трапеції точка перетину діагоналей ділить одну з діагоналей на частини 12 см і 16 см, а частина другої діагоналі дорівнює 8 см. Визнач другу діагональ і меншу основу, якщо більша основа дорівнює 20 см.

Нехай дано трапецію ABCD, BC ∥ AD, AD = 20 см; AO = 16 см; OC = 12 см.

△BOC ~ △DOA (за двома рівними кутами).

${\displaystyle \frac{\mathrm{AD}}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OC}}}$; ${\displaystyle \frac{20}{\mathrm{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{16}{12}}$; BC = 15 см.

1) Якщо OD = 8 см, то ${\displaystyle \frac{\mathrm{OC}}{\mathrm{AO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{\mathrm{OD}}}$; ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{OB}}{8}}$; OB = 6 см.

BD = BO + OD = 6 + 8 = 14 (см).

2) Якщо OB = 8 см, то ${\displaystyle \frac{12}{16}}$ = ${\displaystyle \frac{8}{\mathrm{OD}}}$; OD = ${\displaystyle \frac{16\cdot 8}{12}}$ = 10${\displaystyle \frac{2}{3}}$ см.

BD = 8 + 10${\displaystyle \frac{2}{3}}$ = 18${\displaystyle \frac{2}{3}}$ (см).

Відповідь: BC = 15 см; BD = 14 см або 18${\displaystyle \frac{2}{3}}$ см.