590 Вправа 590Геометрія 8 клас Бевз 2025 · § 10 · стор. 107

590. Доведи, що в подібних трикутниках відповідні висоти (бісектриси, медіани) пропорційні відповідним сторонам.

Нехай △ABC ~ △A₁B₁C₁, ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$ = k.

а)

BK ⊥ AC; B₁K₁ ⊥ A₁C₁.

△ABK ~ △A₁B₁K₁ (∠A = ∠A₁, ∠K = ∠K₁ = 90°).

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{B}₁\mathrm{K}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$ = k.

У подібних трикутниках відповідні висоти пропорційні відповідним сторонам.

б)

BM і B₁M₁ — медіани трикутників. AM = MC; A₁M₁ = M₁C₁.

${\displaystyle \frac{\mathrm{AM}}{\mathrm{A}₁\mathrm{M}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}}{\mathrm{A}₁\mathrm{C}₁}}$ = k; ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$ = k; ∠A = ∠A₁, тому △ABM ~ △A₁B₁M₁ (за другою ознакою).

З їх подібності маємо: ${\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{B}₁\mathrm{M}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$ = k.

У подібних трикутниках відповідні медіани пропорційні відповідним сторонам.

в)

BP і B₁P₁ — бісектриси трикутників.

∠A = ∠A₁; ∠ABP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$∠B₁ = ∠A₁B₁P₁, тому △ABP ~ △A₁B₁P₁ (за двома кутами).

З подібності трикутників маємо: ${\displaystyle \frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{B}₁\mathrm{P}₁}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{A}₁\mathrm{B}₁}}$ = k.

У подібних трикутниках відповідні бісектриси пропорційні відповідним сторонам.