754 Вправа 754Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 145

754. У прямокутнику ABCD точки P і T ділять діагональ AC на три рівні частини. Із цих точок проведено перпендикуляри до сторони AB. Знайдіть периметри всіх прямокутних трикутників, які при цьому утворилися, якщо: 1) AB = 16 см, BC = 63 см, AC = 65 см; 2) AB = 7 см, BC = 24 см, AC = 25 см.

TM ⊥ AB; PK ⊥ AB; CB ⊥ AB ⇒ BC ∥ TM ∥ PK.

∠A – спільний, тому △AKP ∽ △ABC, △AMT ∽ △ABC (за двома кутами),

k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AP}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ і k = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AT}}{\mathbf{AC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$.

Периметри подібних трикутників відносяться як відповідні сторони.

1) P△ABC = 16 + 63 + 65 = 144 (см).

P△AKP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$P△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 144 = 48 (см).

P△AMT = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$P△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · 144 = 96 (см).

2) P△ABC = 7 + 24 + 25 = 56 (см).

P△AKP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$P△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ · 56 = 18${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см).

P△AMT = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$P△ABC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · 56 = 37${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: 1) 144 см, 96 см, 48 см; 2) 56 см, 37${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$ см, 18${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см.