761 Вправа 761Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

761. Доведіть, що в подібних трикутниках відповідні медіани відносяться як сторони, до яких вони проведені (мал. 338).

Дано: △ABC ∽ △KLM; BD і LN – медіани, проведені до відповідних сторін AC і KM.

Довести: BD : LN = AC : KM.

Доведення

З подібності △ABC і △KLM маємо: ∠A = ∠K; ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{KL}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{KM}}}$.

AD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC; KN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$KM.

Оскільки ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{KM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{AC}}{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}\mathbf{KM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{KN}}}$, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{KL}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{KN}}}$.

Крім того, ∠A = ∠K.

Тоді △ABD ∽ △KLN (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси BD : LN = AB : KL = AC : KM.

Тобто відповідні медіани відносяться як сторони, до яких вони проведені.

Що і потрібно було довести.