769 Вправа 769Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

769. Чи будуть подібними два прямокутні трикутники, якщо в них: 1) відношення гіпотенуз дорівнює відношенню радіусів описаних кіл; 2) відношення двох катетів дорівнює відношенню радіусів описаних кіл; 3) відношення гіпотенуз дорівнює відношенню радіусів вписаних кіл?

1) Радіус кола, описаного навколо прямокутного трикутника, дорівнює половині гіпотенузи.

Тому відношення гіпотенуз прямокутних трикутників завжди дорівнює відношенню радіусів описаних кіл.

Стверджувати про подібність таких трикутників не можна.

2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{R}}{{\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$.

Оскільки CO = BO = R, C1O1 = B1O1 = R1, то △CBO ∽ △C1B1O1 (за трьома сторонами).

Звідси ∠B = ∠B1.

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{{\mathbf{a}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{R}}{{\mathbf{2}\mathbf{R}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BA}}{{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}}}$.

Тоді △CBA ∽ △C1B1A1 (за двома сторонами й кутом між ними).

3) Нехай a, b, c і a1, b1, c1 – катети й гіпотенузи, r і r1 – радіуси вписаних кіл; ${\displaystyle \frac{\mathbf{c}}{{\mathbf{c}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{r}}{{\mathbf{r}}_{\mathbf{1}}}}$ = k.

Радіус кола, вписаного в прямокутний трикутник: r = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{-}\mathbf{c}}{\mathbf{2}}}$, тому a + b = 2r + c.

a + b = 2kr1 + kc1 = k(a1 + b1).

a2 + b2 = c2 = k2c12 = k2(a12 + b12).

Оскільки 2ab = (a + b)2 – (a2 + b2), то ab = k2a1b1.

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{k}}}$ + ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{k}}}$ = a1 + b1, ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{k}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{k}}}$ = a1b1, тобто ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{k}}}$ і ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{k}}}$ – корені того самого квадратного рівняння, що й a1 і b1 (теорема Вієта).

Тому a = ka1, b = kb1 або a = kb1, b = ka1, тобто катети пропорційні.

Отже, трикутники подібні (за двома сторонами й кутом між ними).

Відповідь: 1) ні; 2) так; 3) так.