779 Вправа 779Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 148

779. Медіана BM ділить висоту AH трикутника ABC у відношенні 3 : 1, починаючи від вершини. У якому відношенні ця висота ділить медіану BM?

AH ⊥ BC; AM = MC; K – точка перетину BM і AH; AK : KH = 3 : 1.

Проведемо HF ∥ BM.

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{MF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{KH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{1}}}$ (узагальнена теорема Фалеса);

AM = 3MF.

Тоді MC = AM = 3MF, FC = 2MF.

△CFH ∽ △CMB (HF ∥ BM).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{CH}}{\mathbf{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CF}}{\mathbf{CM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{MF}}{\mathbf{3}\mathbf{MF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$.

Отже, CH = 2BH.

Проведемо MG ⊥ BC.

Тоді MG ∥ AH, і оскільки M – середина AC, то HG = GC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$HC = BH.

△BKH ∽ △BMG (KH ∥ MG).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{BM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BH}}{\mathbf{BG}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BH}}{\mathbf{2}\mathbf{BH}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$.

Отже, BK = KM, тобто BK : KM = 1 : 1.

Відповідь: 1 : 1.