757 Вправа 757Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 145

757. У рівнобічній трапеції MOPT діагоналі MP і OT дорівнюють 7 см і точкою C їх перетину діляться у відношенні 2 : 5. Сторона MT на 4 см довша за сторону OP. Знайдіть основи трапеції та периметри трикутників OPC і MTC.

Дано: MOPT – рівнобічна трапеція,

MP = OT = 7 см;

PC : CM = 2 : 5; MT > OP на 4 см.

Знайти: OP, MT, P△OPC, P△MTC.

Розв'язання

Нехай PC = 2x см, тоді CM = 5x см.

MP = PC + CM;

2x + 5x = 7;

7x = 7; x = 1.

PC = 2 · 1 = 2 (см), CM = 5 · 1 = 5 (см).

У рівнобічній трапеції OC = PC = 2 см, TC = MC = 5 см.

∠OCP = ∠TCM (вертикальні).

∠POC = ∠MTC (внутрішні різносторонні).

Отже, △OCP ∽ △TCM (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{OP}}{\mathbf{MT}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{PC}}{\mathbf{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}}$.

Нехай OP = y, тоді MT = y + 4.

${\displaystyle \frac{\mathbf{y}}{\mathbf{y}\mathbf{+}\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{5}}}$;

5y = 2y + 8;

3y = 8;

y = ${\displaystyle \frac{\mathbf{8}}{\mathbf{3}}}$ = 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$.

OP = 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см; MT = 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ + 4 = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см).

P△OPC = OP + PC + OC = 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ + 2 + 2 = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см);

P△MTC = MT + TC + CM = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ + 5 + 5 = 16${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ (см).

Відповідь: OP = 2${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см, MT = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см; P△OPC = 6${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см, P△MTC = 16${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ см.