777 Вправа 777Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

777. Два кола перетинаються в точках A і B. Дотичні до кіл у точці A перетинають кола в точках M і N. Доведіть, що середини хорд AM і AN, а також точки A і B лежать на одному колі.

Дано: кола з центрами O і O1 перетинаються в точках A і B; AN – дотична до кола з центром O, N – на колі з центром O1; AM – дотична до кола з центром O1, M – на колі з центром O; P і Q – середини хорд AM і AN.

Довести: точки A, P, B, Q лежать на одному колі.

Доведення

OA ⊥ AN, тому ∠BAN = 90° – ∠OAB.

У рівнобедреному △AOB: ∠OAB = 90° – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠AOB.

Отже, ∠BAN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠AOB = ∠AMB (вписаний кут, що спирається на дугу AB).

Аналогічно ∠BAM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$∠AO1B = ∠ANB.

Тоді △BMA ∽ △BAN (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{NA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{BA}}}$.

PM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AM, QA = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$NA, тому ${\displaystyle \frac{\mathbf{PM}}{\mathbf{QA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AM}}{\mathbf{NA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BM}}{\mathbf{BA}}}$.

∠PMB = ∠QAB (доведено вище).

Отже, △BPM ∽ △BQA (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси ∠BPM = ∠BQA.

У чотирикутнику APBQ: ∠APB + ∠AQB = (180° – ∠BPM) + ∠BQA = 180°.

Суми протилежних кутів чотирикутника APBQ становлять по 180°, тому навколо нього можна описати коло.

Отже, середини хорд AM і AN, а також точки A і B лежать на одному колі.

Що і потрібно було довести.