764 Вправа 764Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

764. Висота трикутника ділить основу у відношенні m : n. У якому відношенні серединний перпендикуляр до основи ділить бічну сторону, якщо: 1) m = 5, n = 9; 2) m = 3, n = 5?

BK ⊥ AC; AK : KC = m : n; M – середина AC; MP ⊥ AC; P ∈ BC.

∠C – спільний; ∠BKC = ∠PMC = 90°.

Отже, △BKC ∽ △PMC (за двома кутами).

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{KC}}{\mathbf{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{PC}}}$; MC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(AK + KC).

1) AK = 5x, KC = 9x; MC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(5x + 9x) = 7x.

${\displaystyle \frac{\mathbf{9}\mathbf{x}}{\mathbf{7}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{PC}}}$, тоді BP : PC = (9 – 7) : 7 = 2 : 7.

2) AK = 3x, KC = 5x; MC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$(3x + 5x) = 4x.

${\displaystyle \frac{\mathbf{KC}}{\mathbf{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{PC}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{5}}{\mathbf{4}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{PC}}}$, тоді BP : PC = 1 : 4.

Відповідь: 1) 2 : 7; 2) 1 : 4.