763 Вправа 763Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

763. Сторони кута A одна пряма перетинає в точках K і L, а інша — в точках M і N відповідно, причому KL : MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}$ : 0,25, KM = 3 см. Якої довжини повинен бути відрізок AK, щоб дані прямі були паралельними?

Якщо KL ∥ MN, то △AKL ∽ △AMN, тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KL}}{\mathbf{MN}}}$.

Нехай AK = x см, тоді AM = (x + 3) см.

${\displaystyle \frac{\mathbf{x}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{3}}}$ = ${\displaystyle \frac{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{5}}}{\mathbf{0}\mathbf{,}\mathbf{25}}}$;

0,25x = 0,2x + 0,6;

0,05x = 0,6;

x = 12.

Навпаки, якщо AK = 12 см, то ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{12}}{\mathbf{15}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{5}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KL}}{\mathbf{MN}}}$;

∠A – спільний.

Тому △AKL ∽ △AMN (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси ∠AKL = ∠AMN (відповідні), отже, KL ∥ MN.

Отже, щоб KL ∥ MN, треба, щоб AK = 12 см.

Відповідь: 12 см.