765 Вправа 765Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

765. У гострокутному трикутнику ABC проведено висоти BH і CM. Доведіть, що △ABC ∽ △AMH.

Дано: △ABC – гострокутний; BH і CM – висоти; O – точка їх перетину.

Довести: △ABC ∽ △AMH.

Доведення

Центр кола, описаного навколо △CMB, – середина BC.

Точка H лежить на цьому ж колі, бо △CBM і △BCH – прямокутні зі спільною гіпотенузою BC.

∠BCM = ∠BHM (вписані кути, що спираються на спільну хорду BM).

∠BOC = ∠MOH (вертикальні).

Отже, △MOH ∽ △BOC (за двома кутами).

Нехай ∠BCM = ∠BHM = x.

З △MBC: ∠MBC = 90° – x, тобто ∠ABC = 90° – x.

∠BHA = 90° (BH ⊥ AC); ∠BHM = x, тоді ∠AHM = 90° – x.

У △ABC і △AHM: ∠A – спільний; ∠ABC = ∠AHM.

Тоді △ABC ∽ △AHM (за двома кутами), тобто трикутники ABC і AMH подібні.

Що і потрібно було довести.