778 Вправа 778Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

778. Висота BH трикутника ABC ділить медіану AM у відношенні 3 : 1, починаючи від вершини A. У якому відношенні точка H ділить сторону AC?

BH ⊥ AC; BM = MC; K – точка перетину BH і AM; AK : KM = 3 : 1.

Проведемо MF ⊥ AC.

Тоді △BHC ∽ △MFC (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{MC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{HC}}{\mathbf{FC}}}$; 2 = ${\displaystyle \frac{\mathbf{HC}}{\mathbf{FC}}}$;

HC = 2FC; HF = FC.

△AMF ∽ △AKH (KH ∥ MF).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AK}}{\mathbf{KM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{HF}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{1}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{HF}}}$;

AH = 3HF.

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AH}}{\mathbf{HC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}\mathbf{HF}}{\mathbf{2}\mathbf{HF}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}$.

Відповідь: 3 : 2.