767 Вправа 767Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 146

767. Точка E — середина сторони BC паралелограма ABCD. Відрізок AE перетинає діагональ BD в точці K. Знайдіть відношення відрізків: 1) AK і KE; 2) BK і KD.

ABCD – паралелограм: BC ∥ AD; AE – січна, тому ∠BEK = ∠KAD (внутрішні різносторонні).

∠BKE = ∠DKA (вертикальні).

Отже, △BKE ∽ △DKA (за двома кутами).

BE = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD (E – середина BC).

З подібності трикутників маємо:

${\displaystyle \frac{\mathbf{BE}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{KD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KE}}{\mathbf{AK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$.

Звідси AK : KE = 2 : 1; BK : KD = 1 : 2.

Відповідь: 1) 2 : 1; 2) 1 : 2.