774 Вправа 774Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

774. За основами a і b трапеції (a > b) визначте: 1) відстань між точками, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m, починаючи від меншої основи; 2) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину діагоналей; 3) довжину відрізка, що проходить паралельно основам через точку перетину продовжених бічних сторін і має кінці на продовженнях діагоналей.

1)

K і P – точки, які ділять бічні сторони у відношенні 1 : m; KP ∥ AD.

Нехай BK = x; KA = mx.

Проведемо BN ∥ CD.

BCPO і BCDN – паралелограми, тому OP = ND = BC = b; AN = a – b.

△BKO ∽ △BAN (KO ∥ AN); BA = x + mx.

${\displaystyle \frac{\mathbf{KO}}{\mathbf{AN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{BA}}}$.

Звідси KO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AN}\mathbf{\cdot }\mathbf{BK}}{\mathbf{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{\cdot }\mathbf{x}}{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{mx}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$;

KP = KO + OP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$ + b = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{b}\mathbf{+}\mathbf{bm}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{bm}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$.

2)

O – точка перетину діагоналей, MN ∥ AD; O ∈ MN.

△BOC ∽ △DOA (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{OD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{b}}{\mathbf{a}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CO}}{\mathbf{AO}}}$.

Нехай BO = bx; OD = ax; BD = bx + ax; CO = by; OA = ay; CA = by + ay.

△BMO ∽ △BAD (MO ∥ AD).

${\displaystyle \frac{\mathbf{MO}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}}{\mathbf{BD}}}$; MO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}\mathbf{\cdot }\mathbf{AD}}{\mathbf{BD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{bx}\mathbf{\cdot }\mathbf{a}}{\mathbf{bx}\mathbf{+}\mathbf{ax}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$.

△CNO ∽ △CDA (ON ∥ AD).

${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CO}}{\mathbf{CA}}}$; ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{CO}\mathbf{\cdot }\mathbf{AD}}{\mathbf{CA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{by}\mathbf{\cdot }\mathbf{a}}{\mathbf{by}\mathbf{+}\mathbf{ay}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$.

MN = MO + ON = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$.

3)

ABCD – трапеція, O – точка перетину продовжень AB і DC.

PK ∥ AD; O ∈ PK; P – точка перетину PK з прямою DB; K – точка перетину PK з прямою AC.

△OBC ∽ △OAD (BC ∥ AD).

${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{b}}}$.

Нехай OD = ax; OC = bx. Тоді CD = ax – bx = (a – b)x.

△OCK ∽ △DCA (OK ∥ AD).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{OK}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{\mathbf{CD}}}$.

Тоді OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}\mathbf{\cdot }\mathbf{OC}}{\mathbf{CD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{\cdot }\mathbf{bx}}{\mathbf{(}\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}\mathbf{)}\mathbf{x}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}$.

Аналогічно PO = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}$.

Тоді PK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}$.

Відповідь: 1) ${\displaystyle \frac{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{mb}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$; 2) ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{+}\mathbf{b}}}$; 3) ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{ab}}{\mathbf{a}\mathbf{-}\mathbf{b}}}$.