784 Вправа 784Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 148

784. Щоб поділити відрізок AB на три рівні частини, діяли так. На промені AD, що не збігається з AB, відклали рівні відрізки AE і EK. Потім на промені KB побудували точку T так, щоб KB = BT. Пряма TE поділила відрізок AB у відношенні 2 : 1. Отже, одержали, що менший з утворених відрізків дорівнює третині AB. Більший з утворених відрізків поділили навпіл. Обґрунтуйте таку побудову.

Нехай C – точка перетину прямої TE з AB. У △AKB проведемо середню лінію EM (M – середина KB), EM ∥ AB.

${\displaystyle \frac{\mathbf{KE}}{\mathbf{KA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{KM}}{\mathbf{KB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$; ∠K – спільний.

Отже, △KEM ∽ △KAB (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси EM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$KB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$BT, тому TM = TB + BM = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{2}}}$TB.

∠T – спільний.

∠TBC = ∠TME (відповідні при BC ∥ ME).

Отже, △TBC ∽ △TME (за двома кутами).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{BC}}{\mathbf{ME}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{TB}}{\mathbf{TM}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$; BC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ME = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$ · ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$AB.

Тоді AC = AB – ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}$AB = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}}$AB, тобто AC : CB = 2 : 1.

Отже, менший відрізок CB дорівнює третині AB, а більший AC – двом третинам; поділивши AC навпіл, одержимо три рівні частини.

Що і потрібно було довести.