773 Вправа 773Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

773. З вершини тупого кута ромба проведено дві висоти. Відстань між кінцями висот дорівнює половині більшої діагоналі. Знайдіть кути ромба.

Нехай ABCD – ромб, ∠B – тупий, BK і BH – висоти, KH = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AC.

AB = CB, ∠A = ∠C (властивості ромба).

△ABK = △CBH (за гіпотенузою і гострим кутом).

Тому AK = CH, звідси KD = HD.

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{KD}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{HD}}{\mathbf{CD}}}$; ∠D – спільний.

Отже, △KHD ∽ △ACD (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{KD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{KH}}}$ = 2.

Тоді AK = KD; AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AD;

AD = AB; AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB.

У △ABK: AK – катет; AB – гіпотенуза.

Оскільки AK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$AB, то ∠ABK = 30°; ∠BAK = 90° – 30° = 60°.

У ромбі ABCD: ∠A = ∠C = 60°; ∠B = ∠D = 180° – 60° = 120°.

Відповідь: 60°, 120°, 60°, 120°.