771 Вправа 771Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

771. За стороною a трикутника визначте відстань між точками, які ділять дві інші сторони у відношенні 1 : m, починаючи від сторони a.

Нехай AC = a; точки P і K ділять сторони AB і CB у відношенні 1 : m: AP = x, PB = mx; CK = x, KB = mx.

Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{BP}}{\mathbf{BA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BK}}{\mathbf{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$;

∠B – спільний.

Тому △BPK ∽ △BAC (за двома сторонами й кутом між ними).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{PK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{\mathbf{PB}}}$.

AB = x + mx;

${\displaystyle \frac{\mathbf{a}}{\mathbf{PK}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{x}\mathbf{+}\mathbf{mx}}{\mathbf{mx}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}{\mathbf{m}}}$.

Звідси PK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ma}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\mathbf{ma}}{\mathbf{1}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$.