776 Вправа 776Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

776. Основи трапеції відносяться як m : n. Середину O однієї з основ сполучено відрізками з кінцями іншої основи. Проведені відрізки перетинають діагоналі трапеції в точках M і N. Знайдіть відстань між цими точками, якщо: 1) точка O належить меншій основі трапеції, m = 1, n = 4; 2) точка O належить більшій основі трапеції, m = 2, n = 3.

ABCD – трапеція. BC : AD = m : n. Нехай BC = mx, AD = nx.

1)

O – середина BC, OC = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$mx.

△OCN ∽ △DAN (за двома кутами), тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{DN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OC}}{\mathbf{DA}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{2}\mathbf{n}}}$.

△OMN ∽ △OAD (MN ∥ AD), тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{MN}}{\mathbf{AD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{OD}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{2}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$.

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{m}}{\mathbf{2}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$ · nx = ${\displaystyle \frac{\mathbf{mn}}{\mathbf{2}\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{m}}}$x.

Якщо m = 1, n = 4, то MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{4}\mathbf{+}\mathbf{1}}}$x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}}$x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}}$BC.

2)

O – середина AD, OD = ${\displaystyle \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{2}}}$nx.

△ODN ∽ △CBN (за двома кутами). Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{CN}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{CB}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{2}\mathbf{m}}}$.

△OMN ∽ △OBC (MN ∥ BC). Тоді ${\displaystyle \frac{\mathbf{MN}}{\mathbf{BC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{ON}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{m}}}$.

MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{n}}{\mathbf{n}\mathbf{+}\mathbf{2}\mathbf{m}}}$ · mx = ${\displaystyle \frac{\mathbf{nm}}{\mathbf{2}\mathbf{m}\mathbf{+}\mathbf{n}}}$x.

Якщо m = 2, n = 3, то MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{3}}{\mathbf{2}\mathbf{\cdot }\mathbf{2}\mathbf{+}\mathbf{3}}}$x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{6}}{\mathbf{7}}}$x = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}}$BC.

Відповідь: 1) MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{4}}{\mathbf{9}}}$BC; 2) MN = ${\displaystyle \frac{\mathbf{3}}{\mathbf{7}}}$BC (BC – менша основа).