770 Вправа 770Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

770. Прямокутні трикутники з відповідно пропорційними катетом і гіпотенузою — подібні. Доведіть.

Дано: △ACB і △A1C1B1; ∠C = ∠C1 = 90°; ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$.

Довести: △ACB ∽ △A1C1B1.

Доведення

На продовженні сторони AC відкладемо CP = CA. З'єднаємо P і B.

На продовженні сторони A1C1 відкладемо C1P1 = C1A1.

Тоді △ACB = △PCB (за двома катетами) і AB = BP.

Аналогічно △A1C1B1 = △P1C1B1 і A1B1 = P1B1.

Нехай ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$ = k, тоді

${\displaystyle \frac{\mathbf{AP}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{2}\mathbf{AC}}{{\mathbf{2}\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ = k;

${\displaystyle \frac{\mathbf{PB}}{{\mathbf{P}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$ = k.

Тоді △PAB ∽ △P1A1B1 (за трьома сторонами).

Звідси ∠A = ∠A1.

Крім того, ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{C}}_{\mathbf{1}}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AB}}{{\mathbf{A}}_{\mathbf{1}}{\mathbf{B}}_{\mathbf{1}}}}$.

Тоді △CAB ∽ △C1A1B1 (за двома сторонами й кутом між ними).

Що і потрібно було довести.