775 Вправа 775Геометрія 8 клас Бурда 2025 · § 13 · стор. 147

775. Відрізок із кінцями на бічних сторонах трапеції проходить через точку перетину діагоналей і паралельний основам. Доведіть, що цей відрізок точкою перетину діагоналей ділиться навпіл.

Дано: ABCD – трапеція (BC ∥ AD); O – точка перетину діагоналей; KP ∥ AD, O ∈ KP.

Довести: KO = OP.

Доведення

△COP ∽ △CAD (OP ∥ AD).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{OP}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AC}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}\mathbf{+}\mathbf{OC}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{OC}}}$ + 1;

OP = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{OC}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}$.

△BOK ∽ △BDA (OK ∥ AD).

Звідси ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\mathbf{KO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BD}}{\mathbf{BO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{BO}\mathbf{+}\mathbf{OD}}{\mathbf{BO}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{BO}}}$ + 1;

OK = ${\displaystyle \frac{\mathbf{AD}}{\frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{BO}}\mathbf{+}\mathbf{1}}}$.

Оскільки ${\displaystyle \frac{\mathbf{AO}}{\mathbf{OC}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathbf{OD}}{\mathbf{BO}}}$ (з подібності △AOD і △COB), то OP = OK.

Тобто O – середина KP.

Що і потрібно було довести.