1328 Вправа 1328Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1328. Точки K, L, E і F — середини сторін AB, BC, CD і DA чотирикутника. Доведи, що коли AC ⊥ BD, то KE = FL.

Дано: ABCD – чотирикутник; K, L, E, F – середини AB, BC, CD, DA; AC ⊥ BD.

Довести: KE = LF.

Доведення

KL – середня лінія △ABC; KL ∥ AC, KL = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC.

FE – середня лінія △ADC; FE ∥ AC, FE = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AC.

Тоді KL ∥ FE і KL = FE, отже, KLEF – паралелограм.

LE – середня лінія △BCD; LE ∥ BD.

AC ⊥ BD, KL ∥ AC, LE ∥ BD ⇒ KL ⊥ LE; ∠L = 90°.

Отже, паралелограм KLEF – прямокутник. За властивістю прямокутника його діагоналі рівні:

KE = LF.