1355 Вправа 1355Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1355. Через центр квадрата проведено дві взаємно перпендикулярні прямі. Доведи, що відрізки цих прямих, які містяться всередині квадрата, рівні.

Дано: ABCD – квадрат; O – центр квадрата; KL ⊥ MN; KL ∩ MN = O.

Довести: MN = KL.

Доведення

Проведемо OG ⊥ AB, OH ⊥ BC.

△OMG і △OKH (∠G = ∠H = 90°):

1) OG = OH – як відстані від центра до сторін квадрата;

2) ∠MOG = ∠KOH, оскільки доповнюють один і той самий кут GOK до 90°.

Отже, △OMG = △OKH – за катетом і гострим кутом. Тоді OM = OK.

Аналогічно доводиться, що ON = OL.

Отже, MN = OM + ON = OK + OL = KL.