1332 Вправа 1332Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1332. Рівносторонній трикутник ABK розміщений зовні квадрата ABCD. Знайди кут CKD. А якщо ABCD — довільний ромб?

1)

Дано: ABCD – квадрат; △ABK – рівносторонній, розміщений зовні квадрата.

Знайти: ∠CKD.

Розв'язання

∠ABK = 60°.

∠KBC = ∠ABK + ∠ABC = 60° + 90° = 150°; BK = AB = BC.

Отже, △KBC – рівнобедрений.

∠BKC = ∠BCK = (180° – 150°) : 2 = 15°.

Аналогічно △KAD – рівнобедрений, ∠AKD = 15°.

∠CKD = ∠AKB – ∠AKD – ∠BKC = 60° – 15° – 15° = 30°.

2)

Нехай ABCD – ромб, ∠ABC = α, тоді ∠BAD = 180° – α.

∠KBC = α + 60°; BK = AB = BC; △KBC – рівнобедрений.

∠BKC = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-(\alpha +{60}^{\circ })}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{{120}^{\circ }-\alpha }{2}}$ = 60° – ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$.

∠KAD = 180° – α + 60° = 240° – α; AK = AB = AD; △KAD – рівнобедрений.

∠AKD = ${\displaystyle \frac{{180}^{\circ }-({240}^{\circ }-\alpha )}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\alpha -{60}^{\circ }}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ – 30°.

∠CKD = ∠AKB – ∠AKD – ∠BKC = 60° – (${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$ – 30°) – (60° – ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}}$) = 30°.

Відповідь: 30°; для ромба також 30°.