1356 Вправа 1356Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1356. Через точку перетину медіан рівностороннього трикутника проведено дві прямі, кут між якими 60°. Доведи, що відрізки цих прямих, які містяться всередині трикутника, рівні.

Дано: △ABC – рівносторонній; O – точка перетину медіан; прямі M₁N₁ і M₂N₂ проходять через O; кут між ними 60°.

Довести: M₁N₁ = M₂N₂.

Доведення

Оскільки кут між прямими дорівнює 60°, то другу пряму можна одержати з першої поворотом навколо точки O на 120° (суміжний кут 180° – 60° = 120°).

O – центр рівностороннього трикутника, тому при повороті навколо O на 120° трикутник переходить сам у себе (A → B → C → A).

Тоді частина першої прямої, яка лежить усередині трикутника, переходить у частину другої прямої всередині трикутника: відрізок M₁N₁ переходить у відрізок M₂N₂.

Поворот зберігає відстані, отже, M₁N₁ = M₂N₂.