1348 Вправа 1348Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1348. На сторонах BC і CD паралелограма ABCD зовні нього побудовано рівносторонні трикутники BCK і CDP. Доведи, що AK = AP = KP.

Дано: ABCD – паралелограм; △BCK і △CDP – рівносторонні.

Довести: AK = AP = KP.

Доведення

Нехай ∠B = ∠D = α, тоді ∠C = 180° – α.

△ABK і △PDA:

1) ∠ABK = ∠PDA = α + 60°;

2) AB = PD (= CD);

3) BK = DA (= BC).

Отже, △ABK = △PDA за двома сторонами і кутом між ними. Тоді AK = AP як відповідні сторони рівних трикутників.

△KCP і △ABK:

1) ∠KCP = 360° – 60° – 60° – (180° – α) = 60° + α = ∠ABK;

2) CP = AB (= CD);

3) KC = KB.

Отже, △KCP = △ABK за двома сторонами і кутом між ними. Тоді KP = AK.

Отже, AK = AP = KP.