1340 Вправа 1340Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1340. Задача Регіомонтана. Доведи, що висоти трикутника або їх продовження перетинаються в одній точці.

Дано: △ABC; AA₁, BB₁, CC₁ – висоти.

Довести: висоти (або їх продовження) перетинаються в одній точці.

Доведення

Через вершини A, B, C проведемо прямі PQ ∥ BC, QR ∥ AC, PR ∥ AB.

Чотирикутник ABCP: AP ∥ BC, PC ∥ AB, тоді ABCP – паралелограм; AP = BC.

Чотирикутник AQBC: QB ∥ AC, QA ∥ BC, тоді AQBC – паралелограм; AQ = BC.

Отже, AP = AQ; A – середина PQ.

Аналогічно доводиться, що B – середина QR, C – середина PR.

AA₁ ⊥ BC, BC ∥ PQ, тоді AA₁ ⊥ PQ. Отже, пряма AA₁ – серединний перпендикуляр до PQ.

Аналогічно пряма BB₁ – серединний перпендикуляр до QR, пряма CC₁ – серединний перпендикуляр до PR.

Серединні перпендикуляри до сторін трикутника PQR перетинаються в одній точці.

Отже, прямі AA₁, BB₁, CC₁ перетинаються в одній точці.