1341 Вправа 1341Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1341. Вершини трикутника віддалені від прямої, яка не перетинає його, на 6 см, 7 см і 11 см. Як віддалена від цієї прямої точка перетину медіан трикутника?

Дано: пряма a; △ABC; AA₁ = 6 см, BB₁ = 7 см, CC₁ = 11 см – перпендикуляри до прямої a; O – точка перетину медіан.

Знайти: OO₁.

Розв'язання

Проведемо медіану AM; MM₁ ⊥ a, OO₁ ⊥ a.

BCC₁B₁ – прямокутна трапеція; M – середина BC; MM₁ ∥ CC₁, тоді MM₁ – середня лінія трапеції.

MM₁ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BB}₁+\mathrm{CC}₁}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{7+11}{2}}$ = 9 (см).

Проведемо через A пряму, паралельну a; вона перетинає OO₁ у точці F, MM₁ – у точці E.

FO₁ = EM₁ = AA₁ = 6 см; ME = 9 – 6 = 3 (см).

За властивістю медіан трикутника:

${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{OM}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{1}}$, тоді ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$.

△AFO ~ △AEM (OF ∥ ME): ${\displaystyle \frac{\mathrm{OF}}{\mathrm{ME}}}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{AO}}{\mathrm{AM}}}$ = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$; OF = ${\displaystyle \frac{2}{3}}$ · 3 = 2 (см).

OO₁ = OF + FO₁ = 2 + 6 = 8 (см).

Відповідь: 8 см.