1349 Вправа 1349Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1349. На сторонах трикутника ABC зовні нього побудовано квадрати ABKP і CBFE. Доведи, що трикутники ABC і BFP рівновеликі.

Дано: △ABC; ABKP і CBFE – квадрати, BP і BF – їх сторони.

Довести: S△ABC = S△BFP.

Доведення

Нехай ∠ABC = β, тоді ∠PBF = 360° – 90° – 90° – β = 180° – β.

Проведемо AH ⊥ BC і PL ⊥ FB (точка L лежить на продовженні FB за точку B).

∠PBL = 180° – ∠PBF = β = ∠ABH.

△ABH = △PBL (∠H = ∠L = 90°): AB = PB – як сторони квадрата; ∠ABH = ∠PBL. Рівні за гіпотенузою і гострим кутом. Тоді AH = PL.

S△ABC = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BC · AH; S△BFP = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$BF · PL.

BF = BC, PL = AH, тоді S△ABC = S△BFP.