1329 Вправа 1329Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1329. Доведи, що сума діагоналей опуклого чотирикутника менша від його периметра, але більша за півпериметр.

Дано: ABCD – опуклий чотирикутник; AC ∩ BD = O.

Довести: ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}}{2}}$ < AC + BD < P.

Доведення

P = AB + BC + CD + DA.

За нерівністю трикутника:

1) △ABC: AC < AB + BC;

△ADC: AC < AD + CD;

2AC < AB + BC + AD + CD;

△BCD: BD < BC + CD;

△ABD: BD < AB + AD;

2BD < BC + CD + AB + AD;

2AC + 2BD < 2AB + 2BC + 2CD + 2AD | : 2;

AC + BD < AB + BC + CD + AD;

AC + BD < P.

2) △AOB: OA + OB > AB;

△BOC: OB + OC > BC;

△COD: OC + OD > CD;

△DOA: OD + OA > AD;

2(OA + OC) + 2(OB + OD) > AB + BC + CD + AD;

2AC + 2BD > P | : 2;

AC + BD > ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}}{2}}$.

Отже, ${\displaystyle \frac{\mathrm{P}}{2}}$ < AC + BD < P.