1333 Вправа 1333Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1333. ABCD і ABK — квадрат і рівносторонній трикутник. Прямі KC і BD перетинаються в точці P. Доведи, що KP = PD. Розглянь два випадки.

1)

Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній △ABK розміщений зовні квадрата; KC ∩ BD = P.

Довести: KP = PD.

Доведення

△KBC – рівнобедрений (BK = AB = BC).

∠KBC = ∠ABK + ∠ABC = 60° + 90° = 150°;

∠BKC = ∠BCK = (180° – 150°) : 2 = 15°.

Аналогічно △KAD – рівнобедрений:

∠ADK = ∠AKD = 15°.

△KPD:

∠KDP = ∠ADB – ∠ADK = 45° – 15° = 30°;

∠DKP = ∠AKB – (∠AKD + ∠BKC) = 60° – (15° + 15°) = 30°.

Отже, △KPD – рівнобедрений. Тоді KP = PD.

2)

Дано: ABCD – квадрат; рівносторонній △ABK розміщений всередині квадрата; KC ∩ BD = P.

Довести: KP = PD.

Доведення

△KBC – рівнобедрений (BK = AB = BC).

∠KBC = ∠ABC – ∠ABK = 90° – 60° = 30°;

∠BKC = ∠BCK = (180° – 30°) : 2 = 75°.

Аналогічно △KAD – рівнобедрений:

∠ADK = ∠AKD = 75°.

△DKC:

∠KDC = ∠KCD = 90° – 75° = 15°;

∠DKC = 180° – (15° + 15°) = 150°.

△DPK:

∠PKD = 180° – ∠DKC = 180° – 150° = 30°;

∠PDK = ∠ADK – ∠ADP = 75° – 45° = 30°.

Отже, △DPK – рівнобедрений. Тоді KP = PD.