1378 Вправа 1378Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1378. Катети прямокутного трикутника дорівнюють a і b. Знайди довжину бісектриси, проведеної до гіпотенузи.

Дано: △ABC (∠C = 90°); BC = a; AC = b; CK – бісектриса.

Знайти: CK.

Розв'язання

Проведемо KN ⊥ AC, KM ⊥ BC. Точка K лежить на бісектрисі кута C, тому KN = KM = x.

CNKM – прямокутник із рівними сусідніми сторонами, тобто квадрат; CK = x${\displaystyle \sqrt{2}}$.

SABC = SACK + SBCK:

${\displaystyle \frac{1}{2}}$ab = ${\displaystyle \frac{1}{2}}$b · x + ${\displaystyle \frac{1}{2}}$a · x;

ab = x(a + b);

x = ${\displaystyle \frac{\mathrm{ab}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}$.

CK = x${\displaystyle \sqrt{2}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{ab}}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}$.

Відповідь: ${\displaystyle \frac{\sqrt{2\mathrm{ab}}}{\mathrm{a}+\mathrm{b}}}$.