1371 Вправа 1371Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1371. Задача Ейлера. Доведи, що в кожному чотирикутнику сума квадратів сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей і чотирьох квадратів відрізка, який сполучає середини діагоналей.

Дано: ABCD – чотирикутник; E – середина AC; F – середина BD.

Довести: AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF².

Доведення

Спочатку доведемо, що в будь-якому трикутнику ABC з медіаною BE:

AB² + BC² = 2BE² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{2}}$.

Проведемо висоту BH; нехай AE = EC = m, EH = t, BH = h.

AB² = h² + (m + t)²; BC² = h² + (m – t)²;

AB² + BC² = 2h² + 2t² + 2m² = 2(h² + t²) + 2m² = 2BE² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{2}}$.

△ABC:

AB² + BC² = 2BE² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{2}}$.

△ADC:

CD² + DA² = 2DE² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{AC}²}{2}}$.

Додамо ці рівності:

AB² + BC² + CD² + DA² = 2(BE² + DE²) + AC².

△BED (EF – медіана): BE² + DE² = 2EF² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}²}{2}}$.

AB² + BC² + CD² + DA² = 2(2EF² + ${\displaystyle \frac{\mathrm{BD}²}{2}}$) + AC²;

AB² + BC² + CD² + DA² = AC² + BD² + 4EF².