1330 Вправа 1330Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1330. Знайди периметр чотирикутника, утвореного перетином бісектрис кутів прямокутника, сторони якого дорівнюють 2a і 3a.

Дано: ABCD – прямокутник; AB = 2a; BC = 3a; AE, BF, CR, DT – бісектриси.

Знайти: PMKLP.

Розв'язання

△ABM:

∠BAM = ∠ABM = 45°, тоді ∠AMB = 90°. Аналогічно ∠DLC = 90°, ∠K = ∠P = 90°.

Чотирикутник MKLP симетричний відносно прямої ML і відносно прямої KP, тому MK = KL = LP = PM. Отже, MKLP – квадрат.

△ABM – рівнобедрений прямокутний, тому точка M віддалена від AB на ${\displaystyle \frac{1}{2}}$AB = a. Аналогічно точка L віддалена від CD на a.

M і L лежать на прямій, паралельній AD, тоді ML = BC – a – a = 3a – 2a = a.

ML – діагональ квадрата: ML = MK${\displaystyle \sqrt{2}}$; MK = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}}$.

PMKLP = 4 · MK = 4 · ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\sqrt{2}}}$ = 2${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{a}}}$.

Відповідь: 2${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{a}}}$.