1362 Вправа 1362Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1362. Задача Діофанта. Знайди сторони прямокутного трикутника, якщо вони дорівнюють x³, x³ – x і x³ + x, де x — якесь число.

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = x³; BC = x³ – x; AB = x³ + x.

Знайти: AC, BC, AB.

Розв'язання

Найбільша сторона x³ + x – гіпотенуза.

За теоремою Піфагора: AB² = AC² + BC².

(x³ + x)² = (x³)² + (x³ – x)²;

x⁶ + 2x⁴ + x² = x⁶ + x⁶ – 2x⁴ + x²;

x⁶ – 4x⁴ = 0;

x⁴(x² – 4) = 0;

x = 0 – не задовольняє умову;

x² – 4 = 0;

x² = 4;

x = 2 (x > 0, бо x³ > 0).

AC = 2³ = 8;

BC = 2³ – 2 = 6;

AB = 2³ + 2 = 10.

Відповідь: 6; 8; 10.