1343 Вправа 1343Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243
Умова
Дано пряму a і точки A та B з одного боку від неї. Знайди на a таку точку M, щоб сума AM + MB була найменшою.
Розв'язок
1343. Дано пряму a і точки A та B з одного боку від неї. Знайди на a таку точку M, щоб сума AM + MB була найменшою.
Дано: пряма a; точки A і B по один бік від прямої a.
Побудувати: точку M ∈ a таку, що AM + MB – найменша.
Розв'язання
Проведемо BK ⊥ a; на продовженні BK відкладемо KB₁ = KB.
З'єднаємо A і B₁; AB₁ ∩ a = M.
Пряма a – серединний перпендикуляр до BB₁, тому MB = MB₁ і AM + MB = AM + MB₁ = AB₁.
Для будь-якої іншої точки X ∈ a:
AX + XB = AX + XB₁ > AB₁ (за нерівністю трикутника).
Отже, сума AM + MB – найменша.