1369 Вправа 1369Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 245

1369. Впиши у даний гострокутний трикутник інший трикутник так, щоб його сторони були перпендикулярні до сторін даного трикутника.

Дано: гострокутний △ABC.

Побудувати: △KLM (K ∈ AB, L ∈ BC, M ∈ AC), KL ⊥ AB, LM ⊥ BC, MK ⊥ AC.

Побудова

1. Позначимо на BC довільну точку L′ і проведемо L′K′ ⊥ AB (K′ ∈ AB).

2. Через L′ проведемо перпендикуляр до BC, а через K′ – перпендикуляр до AC. Вони перетинаються в точці M′.

3. Промінь BM′ перетинає сторону AC у точці M.

4. Через M проведемо перпендикуляр до BC; його основа – точка L.

5. З точки L проведемо перпендикуляр до AB; його основа – точка K.

6. △KLM – шуканий.

Доведення

ML ∥ M′L′, LK ∥ L′K′, тоді за теоремою про пропорційні відрізки ${\displaystyle \frac{\mathrm{BM}}{\mathrm{BM}\prime }}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BL}}{\mathrm{BL}\prime }}$ = ${\displaystyle \frac{\mathrm{BK}}{\mathrm{BK}\prime }}$. Звідси KM ∥ K′M′, тобто KM ⊥ AC.

KL ⊥ AB і LM ⊥ BC – за побудовою.