1360 Вправа 1360Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1360. Доведи, що сума катетів прямокутного трикутника менша від 1,5 гіпотенузи.

Дано: △ABC (∠C = 90°).

Довести: a + b < 1,5c.

Доведення

(a – b)² ≥ 0;

a² – 2ab + b² ≥ 0;

a² + b² ≥ 2ab | + (a² + b²);

2(a² + b²) ≥ (a + b)²;

За теоремою Піфагора a² + b² = c², тоді 2c² ≥ (a + b)²;

a + b ≤ ${\displaystyle \sqrt{2\mathrm{c}}}$.

${\displaystyle \sqrt{2}}$ ≈ 1,41 < 1,5 ⇒ a + b < 1,5c.