1359 Вправа 1359Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 244

1359. Знайди відношення катетів прямокутного трикутника, якщо один із його кутів дорівнює 22,5°.

Дано: △ABC (∠C = 90°); ∠A = 22,5°; BC = a; AC = b.

Знайти: ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}$; ${\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}$.

Розв'язання

∠B = 90° – 22,5° = 67,5°.

Проведемо BD (D ∈ AC) так, що ∠DBC = 45°. Тоді ∠ABD = 67,5° – 45° = 22,5° = ∠A, отже, △ABD – рівнобедрений: AD = BD.

△BCD (∠C = 90°):

∠DBC = 45°, тоді CD = BC = a; BD = a${\displaystyle \sqrt{2}}$.

AC = AD + DC = a${\displaystyle \sqrt{2}}$ + a = a(${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 1).

${\displaystyle \frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 1; b : a = (${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 1) : 1.

${\displaystyle \frac{\mathrm{a}}{\mathrm{b}}}$ = ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}+1}}$ = ${\displaystyle \frac{\sqrt{2}-1}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)}}$ = ${\displaystyle \sqrt{2}}$ – 1; a : b = (${\displaystyle \sqrt{2}}$ – 1) : 1.

Відповідь: (${\displaystyle \sqrt{2}}$ – 1) : 1 або (${\displaystyle \sqrt{2}}$ + 1) : 1.