1338 Вправа 1338Геометрія 8 клас Бевз 2025 · Задачі підвищеної складності · стор. 243

1338. Як за допомогою самого лише циркуля в прямокутний трикутник з катетами 3 і 4 вписати коло?

Дано: △ABC (∠C = 90°); AC = 4; BC = 3.

Розв'язання

△ABC – єгипетський, тому AB = 5.

r = ${\displaystyle \frac{\mathrm{a}+\mathrm{b}-\mathrm{c}}{2}}$ = ${\displaystyle \frac{3+4-5}{2}}$ = 1.

Отже, центр вписаного кола віддалений від кожного катета на 1, тобто разом з точкою C він утворює квадрат зі стороною 1.

Побудова (лише циркулем)

1. Коло з центром C і радіусом CB = 3 перетинає катет CA в точці K; тоді AK = 4 – 3 = 1.

2. Коло з центром C і радіусом AK = 1 перетинає катети в точках E (на CA) і F (на CB).

3. Кола з центрами E і F і радіусом 1 перетинаються в точці O (відмінній від C).

4. CEOF – ромб з прямим кутом C, тобто квадрат. Отже, O віддалена від катетів на 1 = r, і O – центр вписаного кола.

5. Коло з центром O і радіусом 1 – шукане.